Turunan Fungsi

Turunan Fungsi

Turunan fungsi trigonometri merupakan subtopik differensial yang cukup rumit karena tidak hanya harus memahami konsep turunan, tetapi kita juga harus memahami konsep trigonometri. Pada turunan fungsi trigonometri terdapat beberapa ketetapan umum yang sudah menjadi acuan dasar untuk menyelesaikan soal-soal.
 Meski demikian, adakalanya kita harus mengubah bentuk fungsi trionometri yang diberikan menjadi bentuk lain yang lebih sederhana agar mendekati pola umum yang menjadi ketetapan. Pada bagian inilah kita biasanya mengalami kesulitan jika tidak memahami konsep trigonometri. 
Oleh karena itu, untuk menguasai topik turuna fungsi trigonometri kita harus menguasai konsep trigonometri. Turunan dari suatu fungsi trigonometri merupakan fungsi trigonometri yang berbeda.

Berikut disajikan tabel fungsi awal dan turunan fungsi trigonometri yang dijadikan sebagai acuan dasar. 

Fungsi Awal Turunan Fungsi

 f(x) = sin x   

f '(x) = cos x f(x) = cos x    

f '(x) = -sin x f(x) = cosec x           

f '(x) = -cosec x. cotan x f(x) = sec x      

f '(x) = sec x. tan x f(x) = tan x    

f '(x) =sec2 x f(x) = cotan x          

f '(x) = -cosec2 x

Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727). Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Aturan menentukan turunan fungsi

Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.

Turunan dasar

Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah :

f(x), maka f'(x) = 0

Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

Aturan pangkat : Jika f(x) = xn, maka f’(x) = n X n – 1

Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)

Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi kedua fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka
fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)

(fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)2)

Turunan fungsi trigonometri

d/dx ( sin x ) = cos x

d/dx ( cos x ) = – sin x

d/dx ( tan x ) = sec2 x

d/dx ( cot x ) = – csc2 x

d/dx ( sec x ) = sec x tan x

d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers

(f-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)

contoh soal :

Contoh dan pembahasan turunan fungsi:

1.     Tentukan turunan pertama dari :

f(x)=2x5f(x)=2x5

Jawab :

f′(x)==2.5.x5−110x4f′(x)=2.5.x5−1=10x4

2.     f(x)=3xf(x)=3x

Jawab :

nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x)=3.x−1f(x)=3.x−1

maka :

f′(x)===3.(−1).x−1−1(−3).x−2−3x2f′(x)=3.(−1).x−1−1=(−3).x−2=−3x2

3.     f(x)=7x−−√f(x)=7x

Jawab :

nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi f(x)=7–√.x12f(x)=7.x12

maka :

f′(x)=====7–√.12.x12−112.7–√.x−1212.7–√.1x−−√7–√2x−−√.x−−√x−−√7x−−√2xf′(x)=7.12.x12−1=12.7.x−12=12.7.1x=72x.xx=7x2x

4.     f(x)=3x−2x+1f(x)=3x−2x+1

Jawab :

kita misalkan

U=3x−2V=x+1maka 

makaU′=3V′=1U=3x−2

makaU′=3V=x+1

makaV′=1

maka :

f′(x)====U′.V−V′.UV2(3)(x+1)−(1)(3x−2)(x+1)23x+3−3x+2(x+1)25(x+1)2f′(x)=U′.V−V′.UV2=(3)(x+1)−(1)(3x−2)(x+1)2=3x+3−3x+2(x+1)2=5(x+1)2

5.     f(x)=(3x2−5)4f(x)=(3x2−5)4

Jawab :

kita misalkan U=3x2−5U=3x2−5

maka :

U′=6xU′=6x dan n=4n=4

lalu kita pakai f′(x)=n.Un−1.U′f′(x)=n.Un−1.U′ ( aturan rantai )

f′(x)==4.(3x2−5)4−1.6x24x(3x2−5)3